Question

8．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，向量$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{c}$|=2，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（2$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）的最大值为4+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$的坐标，代入坐标运算．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．
设$\overrightarrow{a}=（1，0）$，$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}=（2cosθ，2sinθ）$．
则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=（1+2cosθ，2sinθ），$2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$=（2cosθ，2+2sinθ）．
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（2$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=2cosθ（1+2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）=4+2cosθ+4sinθ=4+2$\sqrt{5}$sin（θ+φ）．
∴当sin（θ+φ）=1时，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（2$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）取得最大值4+2$\sqrt{5}$．
故答案为：4+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．