Question

18．已知tan（$\frac{π}{4}$+θ）=3，求$\frac{1+sin4θ-cos4θ}{1+sin4θ+cos4θ}$+$\frac{1+sin4θ+cos4θ}{1+sin4θ-cos4θ}$的值．

Answer 1

分析 利用正切加法定理求出tanθ=$\frac{1}{2}$，再由正切二倍角公式求出tan2θ═$\frac{4}{3}$，由此利用正弦函数二倍角公式和余弦函数二倍角公式能求出结果．

解答 解：∵tan（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{tan\frac{π}{4}+tanθ}{1-tan\frac{π}{4}tanθ}$=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$=3，
∴tanθ=$\frac{1}{2}$，∴tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1+sin4θ-cos4θ}{1+sin4θ+cos4θ}$+$\frac{1+sin4θ+cos4θ}{1+sin4θ-cos4θ}$
=$\frac{1+2sin2θcos2θ-1+2si{n}^{2}2θ}{1+2sin2θcos2θ+2co{s}^{2}2θ-1}$+$\frac{1+2sin2θcos2θ+2co{s}^{2}2θ-1}{1+2sin2θcos2θ-1+2si{n}^{2}2θ}$
=$\frac{2sin2θ（cos2θ+sin2θ）}{2cos2θ（sin2θ+cos2θ）}$+$\frac{2cos2θ（sin2θ+cos2θ）}{2sin2θ（cos2θ+sin2θ）}$
=tan2θ+cot2θ
=$\frac{4}{3}+\frac{3}{4}$
=$\frac{25}{12}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数加法定理和二倍角公式的合理运用．