Question

8．如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，BE∥PA，BE=$\frac{1}{2}$PA，F为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDF．
（2）记四棱锥C-PABE的体积为V₁，三棱锥P-ACD的体积为V₂，求$\frac{V_1}{V_2}$的值．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，连结OF，由中位线定理得OF∥PC，故PC∥平面BDF；
（2）设BE=a，求出V₁，V₂．

解答 （1）证明：连结BF，连接BD交AC与点O，连OF，
依题得O为AC中点，又F为PA的中点，
所以OF为△PAC中位线，所以OF∥PC
因为OF?平面BDF，PC?平面BDF
所以PC∥平面BDF．
（2）解：设BE=a，则PA=2BE=2a，
∴V₁=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABEP}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$（a+2a）×1×2=a．
V₂=$\frac{1}{3}{S}_{△PAD}•CD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2a×1$=$\frac{2a}{3}$．
∴$\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．