Question

20．已知变量x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$，则z=x²+y²+2x+2y的取值范围是（　　）

• A． [8，23]
• B． [8，25]
• C． [6，23]
• D． [6，25]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：z=x²+y²+2x+2y=（x+1）²+（y+1）²-2，
设m=（x+1）²+（y+1）²，则m的几何意义是区域内的点到点D（-1，-1）的距离的平方，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则点D到直线x+y-2=0的距离最小，此时d=$\frac{|-1-1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
AD的距离最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
则AD=$\sqrt{（2+1）^{2}+（3+1）^{2}}$=$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$=5，
即（2$\sqrt{2}$）²≤m≤25，即8≤m≤25，
则6≤m-2≤23，
即6≤z≤23，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据零点间的距离公式，结合数形结合是解决本题的关键．