Question

16．已知实数x，y满足x²+y²≤1，则x+y-xy的最大值为1．

Answer 1

分析 由实数x、y满足x²+y²≤1，利用三角函数代换x=cosθ，y=sinθ，令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），（θ∈[0，2π）），x+y-xy转化为-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1，根据利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵实数x、y满足x²+y²≤1，
∴可设x=cosθ，y=sinθ．
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），（θ∈[0，2π）），
∴-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
则t²=1+2sinθcosθ，可得sinθcosθ=$\frac{1}{2}$（t²-1）．
∴x+y-xy=cosθ+sinθ-sinθcosθ=t-$\frac{1}{2}$（t²-1）=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1
当且仅当t=1，x+y-xy取得最大值为1．
故答案为：1

点评 本题考查了圆的参数方程、三角函数代换、三角函数基本关系式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法和计算能力，属于中档题．