Question

5．等比数列{a_n}满足a₃+a₄=12，a₁a₆=32，且公比q＞1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若该数列前n项和S_n=63，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₃＜a₄，a₃，a₄是方程x²-12x+32=0的两个根，解方程x²-12x+32=0，得a₃=4，a₄=8，利用等比数列通项公式求出a₁=1，q=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）等比数列{a_n}中，由a₁=1，q=2，求出通项公式，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}满足a₃+a₄=12，a₁a₆=32，且公比q＞1，
∴a₃a₄=a₁a₆=32，a₃＜a₄，
∴a₃，a₄是方程x²-12x+32=0的两个根，
解方程x²-12x+32=0，得a₃=4，a₄=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=2，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（2）∵等比数列{a_n}中，a₁=1，q=2，
∴S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
∵S_n=63，∴2ⁿ-1=63，解得n=6．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查项数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．