Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB-bcosA=c．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）当△ABC的面积等于4时，求a的最小值．

Answer 1

分析 （I）由acosB-bcosA=c，根据正弦定理可得：sinAcosB-sinBcosA=sinC，又sinC=sin（A+B），化简整理可得：sinBcosA=0，利用A，B∈（0，π），即可得出．
（II）由（I）可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=4，bc=8．b²+c²=a²，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）在△ABC中，∵acosB-bcosA=c，
根据正弦定理可得：sinAcosB-sinBcosA=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA，
∴sinBcosA=0，∵A，B∈（0，π），∴cosA=0，解得A=$\frac{π}{2}$．
（II）由（I）可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=4，∴bc=8．
b²+c²=a²，
∴a²≥2bc=16，
解得a≥4，当且仅当b=c=2$\sqrt{2}$时取等号．
因此a的最小值为4．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．