Question

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为$\frac{17}{2}π$．

Answer 1

分析 根据三视图可知几何体是一个三棱锥，并判断出先、面的位置关系和求出长度，再判断出该几何体外接球的球心的位置，由图形和勾股定理列出关于半径的方程，求出该几何体外接球的半径和表面积．

解答 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如下图所示：
D、E分别是BC、PA的中点，连结DE，
由俯视图得：底面是底和底边的高都为2的等腰三角形，
所以腰长AB=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
又正视图和俯视图得：PD⊥平面ABC，PD⊥AD，
则PA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，DE=$\frac{1}{2}$PA=$\sqrt{2}$，
设外接球的球心是O，则O在DE，连OA、OB、OC、OP，
因为PD⊥BC，AD⊥BC，PD∩AD=D，
所以BC⊥平面ABD，则BC⊥OD，
设外接球的半径为R，则OP=OB=R，
所以OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-1}$，OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-2}$，
由DE=OD+OE得，$\sqrt{2}=\sqrt{{R}^{2}-1}+\sqrt{{R}^{2}-2}$，
化简解得，R²=$\frac{17}{8}$，
所以该几何体外接球的表面积S=4πR²=$\frac{17}{2}π$，
故答案为：$\frac{17}{2}π$．

点评 本题考查三视图求几何体的体积，考查空间想象能力、推理能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．