Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a²+c²-b²=ac，且$\sqrt{2}$b=$\sqrt{3}$c．
（1）求角A的大小；
（2）设函数f（x）=1+cos（2x+B）-cos2x，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得B，再利用正弦定理即可得出；
（2）利用倍角公式、和差公式可得f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，因为$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
所以$B=\frac{π}{3}$．…（2分）
在△ABC中，因为$\sqrt{2}b=\sqrt{3}c$，
由正弦定理可得$\sqrt{2}sinB=\sqrt{3}sinC$，
所以$sinC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$0＜C＜\frac{2π}{3}$，$C=\frac{π}{4}$，
故$A=\frac{2π}{3}-\frac{π}{4}=\frac{5π}{12}$…（6分）
（2）由（1）得$f（x）=1+cos（2x+\frac{π}{3}）-cos2x$=$1+\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-cos2x$=$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$1+sin（2x+\frac{7π}{6}）$…（9分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{7π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，得$kπ-\frac{5π}{6}≤x≤kπ-\frac{π}{3}（k∈Z）$
即函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{5π}{6}，kπ-\frac{π}{3}]（k∈Z）$…（12分）

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性即，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．