Question

14．如图，是一个奖杯的三视图（单位：cm），底座是正四棱台．
（Ⅰ）求这个酱的体积（π取3.14）；
（Ⅱ）求这个奖杯底座的侧面积．

Answer 1

分析 根据三视图知几何体是一个组合体：上面是球、中间是圆柱、下面是正四棱台，并对应的数据，
（Ⅰ）根据球体、柱体和台体的体积公式分别计算，再求和即可；
（Ⅱ）由条件先求出正四棱台的斜高，由梯形的面积公式求出奖杯底座的侧面积．

解答 解：根据三视图知几何体是一个组合体：上面是球、中间是圆柱、下面是正四棱台，
球的半径是3；圆柱的底面半径是2、母线长是16；
正四棱台上底、下底分别为6、12，高为4，
（Ⅰ）球的体积V_球=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{4}{3}×π×{3}^{3}$=36π（cm³）；
圆柱的体积V_圆柱=π×2²×16=64π（cm³）；
V_正四棱台=$\frac{1}{3}$×（${6}^{2}+1{2}^{2}+\sqrt{{6}^{2}×1{2}^{2}}$）×4=336（cm³），
所以此奖杯的体积是V=100π+336≈650（cm³）；
（Ⅱ）底座是正四棱台，它的斜高是$\sqrt{（6-3）^{2}+{4}^{2}}$=5（cm），
这个奖杯底座的侧面积S=$\frac{1}{2}×（6+12）×5×4$=180（cm²）．

点评 本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，考查空间想象能力、运算能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．