Question

9．设函数f_n′（x）是f_n（x）的导函数，f₀（x）=e^x（cosx+sinx），f₁（x）=$\frac{f_0^'（x）}{{\sqrt{2}}}$，f₂（x）=$\frac{f_1^'（x）}{{\sqrt{2}}}$，…，${f_{n+1}}（x）=\frac{f_n^'（x）}{{\sqrt{2}}}$（n∈N），则f₂₀₁₆（x）=（　　）

• A． e^x（cosx+sinx）
• B． e^x（cosx-sinx）
• C． -e^x（cosx+sinx）
• D． e^x（sinx-cosx）

Answer 1

分析 我们易得到f_n（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2016÷8余0，故f₂₀₀₈（x）=f₀（x），进而得到答案

解答 解：∵f₀（x）=e^x（cosx+sinx），
∴f₀′（x）=e^x（cosx+sinx）+e^x（-sinx+cosx）=2e^xcosx，
∴f₁（x）=$\frac{f_0^'（x）}{{\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$e^xcosx，
∴f₁′（x）=$\sqrt{2}$e^x（cosx-sinx），
∴f₂（x）=$\frac{f_1^'（x）}{{\sqrt{2}}}$=e^x（cosx-sinx），
∴f₂′（x）=e^x（cosx-sinx）+e^x（-sinx-cosx）=-2e^xsinx，
∴f₃（x）=-$\sqrt{2}$e^xsinx，
∴f₃′（x）=-$\sqrt{2}$e^x（sinx+cosx），
∴f₄（x）=-e^x（cosx+sinx），
∴f₄′（x）=-2e^xcosx，
∴f₅（x）=-$\sqrt{2}$e^xcosx，
∴f₆（x）=-e^x（cosx-sinx），
∴f₇（x）=$\sqrt{2}$e^xsinx，
∴f₈（x）=e^x（cosx+sinx），
…，
∴f₂₀₁₆（x）=f（0）=e^x（cosx+sinx），
故选：A．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，函数的值，其中根据已知中的递推式得到f_n（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，是解答本题的关键．