Question

14．锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B=2A，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根据正弦定理可得到$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，结合B=2A根据二倍角公式可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{2sinAcosA}$，整理得到$\frac{b}{a}$=2cosA，再求得A的范围即可得到$\frac{b}{a}$的取值范围．

解答 解：由正弦定理：得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∵B=2A，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{2sinAcosA}$，
∴$\frac{b}{a}$=2cosA，
当B为最大角时B＜90°，∴A＜45°，
当C为最大角时C＜90°，∴A＞30°，
∴30°＜A＜45°，
2cos45°＜2cosA＜2cos30°，
∴$\frac{b}{a}$∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故答案为：（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查正弦定理和二倍角公式的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用，属于中档题．