Question

6．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2f（x-500），x≥20}\\{\sqrt{|x|}•{∫}_{0}^{\frac{π}{12}}cos（2t）dt，x＜20}\end{array}\right.$，则f（2016）的值为16．

Answer 1

分析 利用定积分求出分段函数x＜20的解析式，然后通过函数的周期化简求解即可．

解答 解：${∫}_{0}^{\frac{π}{12}}cos2tdt$=$\frac{1}{2}sin2t{|}_{0}^{\frac{π}{12}}$=$\frac{1}{4}$．
x≥20时，函数的周期为500，所以f（2016）=2⁴f（16）=2⁴$\sqrt{16}$×$\frac{1}{4}$=16．
故答案为：16．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及抽象函数的应用，考查计算能力．