Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$M（-\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，且离心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x²+y²=2交于C，D两点．
①当|CD|=2时，求直线l的方程；
②若λ=$\frac{|AB|}{|CD|}$，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；
②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
a²-b²=c²，
将M的坐标代入椭圆方程，可得
$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）①O到直线y=x+m的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
由弦长公式可得2=2$\sqrt{2-\frac{{m}^{2}}{2}}$，
解得m=±$\sqrt{2}$，
可得直线的方程为y=x±$\sqrt{2}$；
②由y=x+m代入椭圆方程x²+2y²=8，
可得3x²+4mx+2m²-8=0，
由判别式为△=16m²-12（2m²-8）＞0，
化简可得m²＜12，
由直线和圆相交的条件可得d＜r，
即有$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{2}$，即为m²＜4，
综上可得m的范围是（-2，2）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{3}$，
即有弦长|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{9}-\frac{8{m}^{2}-32}{3}}$=$\frac{4}{3}$•$\sqrt{12-{m}^{2}}$，
|CD|=2$\sqrt{2-\frac{{m}^{2}}{2}}$=$\sqrt{8-2{m}^{2}}$，
即有λ=$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{\frac{12-{m}^{2}}{4-{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{1+\frac{8}{4-{m}^{2}}}$，
由0＜4-m²≤4，可得$\frac{8}{4-{m}^{2}}$≥2，
即有λ≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
则λ的取值范围是[$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，以及直线和圆的位置关系，注意联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．