Question

12．在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且满足c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²．
（Ⅰ）求角A；
（2）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知可得a²=c²+b²-bc，根据余弦定理可求cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），结合范围B∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函数的性质即可解得sinB+sinC的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²．
∴由余弦定理可得：a²+c²-b²-bc=2a²-2b²．可得：a²=c²+b²-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）sinB+sinC=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴sinB+sinC的最大值为$\sqrt{3}$．…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．