Question

13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．

Answer 1

分析 （I）根据正弦定理将边化角，化简得出cosC；
（II）根据三角形的面积公式列方程解出CD．

解答 解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosC，
∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，
因为0＜C＜π，所以$cosC=\frac{1}{2}$，故$C=\frac{π}{3}$； 
（Ⅱ）在△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴$∠ACD=∠BCD=\frac{π}{6}$．
∵S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$a$•CD•sin\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}•b•CD•sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$（a+b）•CD•sin$\frac{π}{6}$．
解得$CD=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．