Question

5．若函数f（x）=x|x-a|（a＞0）在区间[1，2]上的最小值为2，则a=3．

Answer 1

分析 由a＞0，结合y=f（x）的图象可得f（x）在[1，2]的最小值可以是f（1），或f（2），f（a）．分别计算求得a，将绝对值去掉，运用二次函数的对称轴和区间的关系，结合单调性，即可判断a的值．

解答 解：由a＞0，结合y=f（x）的图象可得f（x）在[1，2]的最小值
可以是f（1），或f（2），f（a）．
由f（a）=0，不成立；
由f（1）=|1-a|=2，解得a=-1（舍去）或a=3，
当a=3时，f（x）=x|x-3|在[1，2]，即有：f（x）=x（3-x）在[1，2]递减，
可得f（1）或f（2）取得最小值，且为2；
由f（2）=2|2-a|=2，解得a=1或a=3．
当a=3时，f（x）=x|x-3|在[1，2]即为：f（x）=x（3-x）在[1，2]递减，
可得f（1）或f（2）取得最小值，且为2；
当a=1时，f（x）=x|x-1|在[1，2]即为：f（x）=x（x-1），
可得f（x）在[1，2]递增，即有f（1）取得最小值，且为0，不成立．
综上可得a=3．
故答案为：3．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．