Question

14．已知α，β∈（0，π），cosα=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$，则cosβ=$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 由已知可得α∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（0，$\frac{π}{2}$）或α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），当α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π）时，由α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得β∈（π，$\frac{3π}{2}$），矛盾，可得α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β），再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α，β∈（0，π），cosα=$\frac{12}{13}$＞0，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$＞0，
∴α∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（0，$\frac{π}{2}$）或α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
∵α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π）时，由α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得β∈（π，$\frac{3π}{2}$），矛盾，故α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{5}{13}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{56}{65}$．
故答案为：$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．