Question

6．设D为不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ 2x+y-3≤0\end{array}\right.$表示的平面区域，圆C：（x-5）²+y²=1上的点与区域D上的点之间的距离的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1，$\sqrt{34}+1$）
• B． [$\sqrt{17}-1$，$\sqrt{34}+1$]
• C． [$\sqrt{17}$，$\sqrt{34}$]
• D． [$\sqrt{17}$-1，$\sqrt{34}$-1]

Answer 1

分析 首先求解平面区域的顶点，确定各顶点到圆心的距离$d=\sqrt{{{（x-5）}^2}+{y^2}}$，最后求出最小距离减半径和最大距离加半径，即为所求范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ 2x+y-3≤0\end{array}\right.$作出可行域如图，
O（0，0），B（0，3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
OC=5，AC=$\sqrt{（5-1）^{2}+（0-1）^{2}}=\sqrt{17}$，BC=$\sqrt{（5-0）^{2}+（0-3）^{2}}=\sqrt{34}$．
∴圆C：（x-5）²+y²=1上的点与区域D上的点之间的距离的最小值为$\sqrt{17}-1$，最大值为$\sqrt{34}+1$，
∴所求范围[$\sqrt{17}-1$，$\sqrt{34}+1$]．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．