Question

9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆$C：\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦点分别是F₁，F₂，P为椭圆C上的一点，且PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 求出椭圆的a，b，c，运用勾股定理和椭圆的定义，可得|PF₁|•|PF₂|=18，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
由椭圆$C：\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，知a=5，b=3，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=4，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=64，
由椭圆的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
解得|PF₁|•|PF₂|=18．
∴△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×18=9．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查三角形的面积的求法，属于基础题．