Question

4．⑧如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆与A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l不经过点M，试问直线MA，MB与x轴能否围成一个等腰三角形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得出a²=4b²，再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b²=5，a²=20，从而得出椭圆的方程；
（2）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得-5＜m＜5；设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系再计算出直线MA的斜率k₁，MB的斜率为k₂，将式子k₁+k₂通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k₁+k₂=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
a²-c²=b²，
∴a²=4b²，
又∵M（4，1），
∴$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，解得b²=5，a²=20，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（2）将y=x+m代入x²+4y²=20，
并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，
∴△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5；
设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，只要证明k₁+k₂=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
利用根与系数的关系得：x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，
上式的分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=$\frac{2（4{m}^{2}-20）}{5}$-$\frac{8m（m-5）}{5}$-8（m-1）=0，
所以k₁+k₂=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

点评 本题考查了椭圆的方程和直线与椭圆的位置关系等知识点，解题时注意设而不求和转化化归等常用思想的运用，本题的综合性较强对运算的要求很高．