Question

15．已知抛物线C：x²=4y，F为抛物线焦点，圆E：x²+（y+1）²=1，斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C和圆E都相切，切点分别为P和Q，直线PF和PQ分别交x轴于点M，N．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）求△PMN内切圆半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线y=kx+t（k＞0，t＜0），代入抛物线的方程，运用判别式为0，求得k，t的关系式；再将直线和圆相切的条件：d=r，解得k，t，进而得到直线l的方程；
（Ⅱ）将直线l的方程代入抛物线的方程可得P的坐标，由直线PF求得M的坐标，直线的方程求得N的坐标，再运用三角形的面积公式和等积法，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）设直线y=kx+t（k＞0，t＜0），
代入抛物线的方程x²=4y，可得x²-4kx-4t=0，
由相切的条件可得△=16k²+16t=0，即为k²+t=0，
由直线和圆相切可得d=$\frac{|t+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即为t²+3t=0，解得t=-3（0舍去），
k=$\sqrt{3}$，（负的舍去），
即有直线l的方程为y=$\sqrt{3}$x-3；
（Ⅱ）由y=$\sqrt{3}$x-3和x²=4y，
解得切点P（2$\sqrt{3}$，3），
由F（0，1），直线PF的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
求得M的坐标为（-$\sqrt{3}$，0）；
直线l的方程为y=$\sqrt{3}$x-3，可得N的坐标为（$\sqrt{3}$，0），
由面积相等法，可得S_△PMN=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•3=3$\sqrt{3}$，
又设内切圆的半径为r，可得$\frac{1}{2}$r（|PM|+|PN|+|MN|）=$\frac{1}{2}$r（6+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$），
即有（3+2$\sqrt{3}$）r=3$\sqrt{3}$，
解得r=6-3$\sqrt{3}$．
则△PMN内切圆半径为6-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线和抛物线相切、以及直线与圆相切的条件，考查等积法的运用以及内切圆半径的求法，考查运算能力，属于中档题．