Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的所有内接菱形构成的集合为F．
（1）求F中菱形的最小面积．
（2）是否存在定圆与F中的菱形都相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由．
（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设直线AC的方程为y=kx，直线BD的方程为y=-$\frac{1}{k}x$，与椭圆联立，得到OA²=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}$，OB²=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+4}$，由此能求出菱形ABCD的最小面积．
（2）存在定圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$与F中的菱形都相切，设原点到菱形任一边的距离为d，由当菱形ABCD的对角线在坐标轴上和当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上，两种情况证明d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．从而得到存在定圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$与F中的菱形都相切．
（3）设这条边所在的直线AD的方程为y=t（x-$\sqrt{3}$），由点O（0，0）到直线AD的距离，能求出直线AD的方程．

解答 解：（1）如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当菱形ABCD的对角线在坐标轴上时，其面积为4×$\frac{1}{2}×2×1$=4，
当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，设直线AC的方程为y=kx，①
则直线BD的方程为y=-$\frac{1}{k}x$，
又椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，②
由①②，得${{x}_{1}}^{2}=\frac{4}{4{k}^{2}+1}$，${{y}_{1}}^{2}=\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，
从而$O{A}^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}$，
同理可得OB²=${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{4[（-\frac{1}{k}）^{2}+1]}{4（-\frac{1}{k}）^{2}+1}$=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+4}$，
∴菱形ABCD的面积为：2×OA×OB=8$\sqrt{\frac{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{4{k}^{4}+17{k}^{2}+4}}$=4$\sqrt{\frac{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{{k}^{4}+\frac{17}{4}{k}^{2}+1}}$
=4$\sqrt{1-\frac{\frac{9}{4}{k}^{2}}{{k}^{4}+\frac{17}{4}{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{1-\frac{9}{4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）+17}}$≥$4\sqrt{1-\frac{9}{4×2\sqrt{{k}^{2}×\frac{1}{{k}^{2}}}+17}}$=$\frac{16}{5}$，
当且仅当k=±1时，等号成立，
综上，得菱形ABCD的最小面积为$\frac{16}{5}$．
（2）存在定圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$与F中的菱形都相切，设原点到菱形任一边的距离为d，
下证：d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
证明：由（1）知当菱形ABCD的对角线在坐标轴上时，d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，
${d}^{2}=\frac{O{A}^{2}×O{B}^{2}}{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}×\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+4}}{\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}+\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+4}}$
=$\frac{4（{k}^{2}+1）^{2}}{（{k}^{2}+1）（{k}^{2}+4）+（{k}^{2}+1）（4{k}^{2}+1）}$
=$\frac{4（{k}^{2}+1）^{2}}{（{k}^{2}+1）（5{k}^{2}+5）}$=$\frac{4}{5}$，
∴d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
综上，存在定圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$与F中的菱形都相切．
（3）设这条边所在的直线AD的方程为y=t（x-$\sqrt{3}$），即tx-y-$\sqrt{3}t$=0，
则点O（0，0）到直线AD的距离为$\frac{|\sqrt{3}t|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得t=$±\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
∴直线AD的方程为y=$±\frac{2\sqrt{11}}{11}$（x-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查菱形最小面积的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式、椭圆性质的合理运用．