Question

9．已知函数f（x）=tan（ωx-$\frac{π}{5}$）（ω＞0）的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求不等式f（x）＞-1的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正切函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式，从而求得它的定义域．
（Ⅱ）由条件利用正切函数的图象，解三角不等式，求得x的范围．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=tan（ωx-$\frac{π}{5}$）（ω＞0）的最小正周期为2π，
可得$\frac{π}{ω}$=2π，∴ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{5}$）．
令kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{5}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得2kπ-$\frac{3π}{5}$＜x＜2kπ+$\frac{7π}{5}$，
故函数的定义域为（2kπ-$\frac{3π}{5}$，2kπ+$\frac{7π}{5}$），k∈Z．
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞-1，即tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{5}$）＞-1，即 kπ-$\frac{π}{4}$＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{5}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，
求得 2kπ-$\frac{π}{10}$＜x＜2kπ+$\frac{7π}{5}$，故不等式的解集为{x|kπ-$\frac{π}{10}$＜x＜kπ+$\frac{7π}{5}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查正切函数的周期性，正切函数的图象，解三角不等式，属于基础题．