Question

19．已知f（x）=-2sin²x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，且a＞0，求a，b的值．

Answer 1

分析 令t=sinx（-1≤t≤1）换元，然后分类利用二次函数的单调性求得最值，得到关于a，b的方程组得答案．

解答 解：令t=sinx（-1≤t≤1），
则函数f（x）=-2sin²x-asinx+b化为：
g（t）=-2t²-at+b，
对称轴方程为t=$-\frac{a}{4}$＜0，
当$-\frac{a}{4}$≤-1，即a≥4时，函数g（t）在[-1，1]上为减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=-2+a+b=0}\\{g（1）=-2-a+b=-4}\end{array}\right.$，解得a=2，b=0，舍去；
当-1＜$-\frac{a}{4}$＜0，即0＜a＜4时，函数g（t）在[-1，1]上先增后减，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-\frac{a}{2}）=-2×（-\frac{a}{2}）^{2}-a×（-\frac{a}{2}）+b=0}\\{g（1）=-2-a+b=-4}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=0．
综上，a=2，b=0．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，训练了利用二次函数的单调性求函数的值域，是中档题．