Question

6．“幸福账单，为你买单”这是某电视台《幸幅账单》栏目的口号．每一位参加闯关的选手如果能成功通过所有关卡到达终点，则所报账单即确认，否则账单取消．现有3名男生，3名女生分别参加这档节目．已知3名男生能使账单确认的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$，3名女生能使账单确认的概率均为$\frac{1}{5}$．
（1）分别求3名男生中有1名，2名，3名能使账单确认的概率；
（2）求3名女生能使账单确认的人数X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出3名男生能分别求出3名男生中有1名，2名，3名能使账单确认的概率．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$），由此能求出3名女生能使账单确认的人数X的分布列与数学期望．

解答 解：（1）∵3名男生能使账单确认的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$，
∴3名男生中有1名能使账单确认的概率：
p₁=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{5}）（1-\frac{1}{6}）$+$（1-\frac{1}{4}）•\frac{1}{5}•（1-\frac{1}{6}）$+$（1-\frac{1}{4}）（1-\frac{1}{5}）•\frac{1}{6}$=$\frac{47}{120}$；
3名男生中有2名能使账单确认的概率：
P₂=$\frac{1}{4}×\frac{1}{5}×（1-\frac{1}{6}）$+$\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{5}）×\frac{1}{6}$+$（1-\frac{1}{4}）×\frac{1}{5}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{10}$，
3名男生都能使账单确认的概率：
p₃=$\frac{1}{4}×\frac{1}{5}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{120}$．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{5}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

EX=$0×\frac{64}{125}+1×\frac{48}{125}$+$2×\frac{12}{125}+3×\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．