Question

11．已知x，y＞0，且x+y=1，则$\frac{1}{2x+1}$+$\frac{4}{2y+1}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 易知2x+1+2y+1=4，从而化简$\frac{1}{2x+1}$+$\frac{4}{2y+1}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2y+1}{2x+1}$+$\frac{2x+1}{2y+1}$+$\frac{5}{4}$，从而利用基本不等式求解．

解答 解：∵x+y=1，
∴2x+1+2y+1=4，
∴$\frac{1}{2x+1}$+$\frac{4}{2y+1}$
=$\frac{1}{4}$•$\frac{2x+1+2y+1}{2x+1}$+$\frac{2x+1+2y+1}{2y+1}$
=$\frac{1}{4}$•$\frac{2y+1}{2x+1}$+$\frac{2x+1}{2y+1}$+$\frac{5}{4}$
≥2$\sqrt{\frac{1}{4}}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$，
（当且仅当$\frac{1}{4}$•$\frac{2y+1}{2x+1}$=$\frac{2x+1}{2y+1}$，即x=$\frac{1}{6}$，y=$\frac{5}{6}$时，等号成立），
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了基本不等式的变形应用及学生的化简运算能力的应用．