Question

20．已知数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），数列{b_n}前n项之和S_n=12-12（$\frac{2}{3}$）ⁿ，（n∈N^*）．
（1）求证{$\frac{1}{{a}_{n}}$}成等差数列；
（2）求{a_n}，{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，继而得到{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
（2）由b_n=S_n-S_n-1，即可求出数列{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴2a_n+1a_n+a_n+1=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$，（n∈N^*），
∵S_n=12-12（$\frac{2}{3}$）ⁿ，（n∈N^*），
∴S_n-1=12-12（$\frac{2}{3}$）^n-1，（n∈N^*），
∴b_n=S_n-S_n-1=12-12（$\frac{2}{3}$）ⁿ-12+12（$\frac{2}{3}$）^n-1=6×（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
当n=1时，S₁=12-12（$\frac{2}{3}$）¹=4=b₁，此时b₁=6×（$\frac{2}{3}$）¹=4，
∴n=1时满足，
∴b_n=6×（$\frac{2}{3}$）ⁿ．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法，关键是构造新的数列和利用递推公式，属于基础题．