Question

5．已知x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，函数y=sinx-cosx的值域为[0，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据两角和与差的正弦公式可得：y=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），再根据题意可得x-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，然后利用正弦函数的图象可得0≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1，进而得解．

解答 解：由题意可得：y=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
因为x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
所以x-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以0≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1，
所以：0≤y≤$\sqrt{2}$，即函数y=sinx-cosx的值域为[0，$\sqrt{2}$]．
故答案为：[0，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查了正弦函数的有关性质，即值域与定义域．解题的关键是利用两角和与差的正弦余弦该点对函数解析式进行正确化简，以及对正弦函数的性质的熟练运用，属于基础题．