Question

8．已知各项为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1-a_n+4a_n+1a_n=0，n∈N^*
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）化简a_n+1-a_n+4a_n+1a_n=0可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=4，从而解得；
（2）化简$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}$=（4n-1）2^n-1，从而利用错位相减法求其前n项和．

解答 解：（1）由题意知，a_n＞0，
∵a_n+1-a_n+4a_n+1a_n=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+4=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=4，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以3为首项，4为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+4（n-1）=4n-1，
∴a_n=$\frac{1}{4n-1}$；
（2）$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}$=（4n-1）2^n-1，
T_n=3+7•2+11•4+…+（4n-1）2^n-1，
2T_n=3•2+7•4+11•8+…+（4n-1）2ⁿ，
∴两式作差可得，
T_n=-3-4（2+4+8+…+2^n-1）+（4n-1）2ⁿ
=-3-4$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+（4n-1）2ⁿ
=（4n-5）2ⁿ+5．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的应用及构造法的应用，同时考查了错位相减法的应用．