Question

16．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|2x+a|+2|x-$\frac{b}{2}$|+1的最小值为2
（1）求a+b的值；
（2）求证：a+log₃（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）≥3-b．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的性质求出f（x）的最小值即可；（2）根据级别不等式的性质得到求出a，b的值，从而证出不等式问题．

解答 （1）解：∵f（x）=|2x+a|+|2x-b|+1≥|2x+a-（2x-b）|+1=|a+b|+1，
当且仅当（2x+a）（2x-b）≤0时，“=”成立，
又a＞0，b＞0，∴|a+b|=a+b，
∴f（x）的最小值为a+b+1=2，
∴a+b=1；
（2）证明：由（1）得：a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，且a+b=1即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时取“=”，
∴log₃（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）≥${log}_{3}^{9}$=2，
∴a+b+log₃（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）≥3，
即a+log₃（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）≥3-b．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查级别不等式的性质，是一道中档题．