Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的短轴长为2$\sqrt{3}$，且离心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，过F₂的直线与椭圆相交于P、Q两点，求△F₁PQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的短轴长为2$\sqrt{3}$，且离心率e=$\frac{1}{2}$，列出方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线PQ的方程为x=ty+1，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性，结合已知条件能求出△F₁PQ面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的短轴长为2$\sqrt{3}$，且离心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=2\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）设直线PQ的方程为x=ty+1，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
设P（x₁，y₁）＜Q（x₂，y₂），
则${S}_{△{F}_{1}PO}$=$\frac{1}{2}•2c•|{y}_{1}-{y}_{2}|$=|y₁-y₂|=12•$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{（3{t}^{2}+4}）^{2}}$，
令u=$\sqrt{{t}^{2}+1}$∈[1，+∞），
则${S}_{△{F}_{1}PQ}=\frac{12}{3u+\frac{1}{μ}}$，
∵y=3$μ+\frac{1}{μ}$在[1，+∞）上是增函数，
∴当μ=1，即t=0时，（${S}_{△{F}_{1}PQ}$）_min=3．
∴△F₁PQ面积的最小值是3．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性的合理运用．