Question

4．若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是（　　）

• A． $（{\sqrt{2}，+∞}）$
• B． $（{\sqrt{2}，2}）$
• C． $（{2，2+\sqrt{2}}）$
• D． $（{\sqrt{5}，+∞}）$

Answer 1

分析 由正方形的对称性得，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x，x），从而得到双曲线渐近线的斜率k=$\frac{b}{a}$＞1，由此能求出双曲线离心率的取值范围．

解答 解：∵双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，
∴由正方形的对称性得，其对称中心在原点，
且在第一象限的顶点坐标为（x，x），
∴双曲线渐近线的斜率k=$\frac{b}{a}$＞1，
∴双曲线离心率e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\sqrt{2}$．
∴双曲线M的离心率的取值范围是（$\sqrt{2}$，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值的范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．