Question

9．已知向量$\overrightarrow a=（m，n），\overrightarrow b=（1，1）$，满足$\overrightarrow a•\overrightarrow b≥$2，且$\overrightarrow a（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）≤0$，则$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的取值范围是[2，4]．

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=（m-2，n-2）$，从而由$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）≤0$便可得到（m-1）²+（n-1）²≤2，这样便可设m-1=tcosθ，n-1=tsinθ，且$0≤t≤\sqrt{2}$，从而有$m+n=\sqrt{2}tsin（θ+\frac{π}{4}）+2$，这便可得到0≤m+n≤4，从而$0≤\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≤4$，再根据$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≥2$便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的取值范围．

解答 解：$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=（m-2，n-2）$；
由$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）≤0$得，m（m-2）+n（n-2）≤0；
∴（m-1）²+（n-1）²≤2；
∴设m-1=tcosθ，n-1=tsinθ，$0≤t≤\sqrt{2}$；
∴$m+n=t（sinθ+cosθ）+2=\sqrt{2}tsin（θ+\frac{π}{4}）+2$；
$-2≤\sqrt{2}tsin（θ+\frac{π}{4}）≤2$；
∴0≤m+n≤4；
又$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=m+n$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≥2$；
∴$2≤\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≤4$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的取值范围是[2，4]．
故答案为：[2，4]．

点评 考查向量减法和数乘的坐标运算，以及数量积的坐标运算，cos²θ+sin²θ=1的运用，圆的标准方程和参数方程的转换，以及正弦函数的最值．