Question

9．已知在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，其中c为最长边．
（1）若sin²A+sin²B=1，试判断△ABC的形状；
（2）若a²-c²=2b，且sinB=4cosAsinC，求b的值．

Answer 1

分析 （1）先根据sin²A+sin²B=1以及sin²A+cos²A=1得到sin²B=cos²A；再结合是三角形的内角且c边最长得到sinB=cosA进而判断出三角形的形状．
（2）由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可化为b²=2（b²+c²-a²），把a²-c²=2b代入即可得出．

解答 解：（1）因为：sin²A+sin²B=1，
而sin²A+cos²A=1；
所以，sin²B=cos²A；
∵c边最长，
∴A，B均为锐角，
故：sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$-A）⇒B=$\frac{π}{2}$-A⇒A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵由sinB=4cosAsinC，
∴利用正弦定理可得：b=4ccosA，余弦定理可得：b=$\frac{4（{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}）}{2bc}$×c，化为b²=2（b²+c²-a²），
∵a²-c²=2b，∴b²=2（b²-2b），化为b²-4b=0，
∵b＞0，解得b=4．

点评 本题主要考查三角形的形状判断和正弦定理和余弦定理的应用，三角形的形状判断有两种常用方法：一是求出角之间的关系来下结论；二是求出边之间的关系来下结论，属于中档题．