Question

17．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，点Q（0，2$\sqrt{2}$），FQ的中点在抛物线上．
（1）求抛物线方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k，m∈R）与抛物线切于点M，与抛物线的准线交于N，若以MN为直径的圆过定点R，R到直线l的距离为d，求$\frac{|MN|}{d}$的最小值及相应的直线方程．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线方程y²=2px（p＞0）可知其焦点F（$\frac{1}{2}$p，0），利用中点坐标公式，代入抛物线方程即得结论；
（2）通过（1）可知抛物线的直线方程为x=-1，并与抛物线方程联立，利用直线l：y=kx+m（k，m∈R）与抛物线相切可知m与k之间的关系，进而可得M（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）、N（-1，$\frac{1-{k}^{2}}{k}$），通过设R（x₁，0），利用$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$=0计算可知R（1，0），利用点到直线的距离公式及两点间距离公式，结合基本不等式化简即得结论．

解答 解：（1）依题意，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{1}{2}$p，0），
又∵点Q（0，2$\sqrt{2}$），
∴FQ的中点（$\frac{1}{4}$p，$\sqrt{2}$），
∴2=$\frac{1}{2}$p²，
又∵p＞0，
∴p=2，
故抛物线方程为y²=4x；
（2）由题意可知抛物线的直线方程为：x=-1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{k}{4}$y²-y+m=0，
∵直线l：y=kx+m（k，m∈R）与抛物线切于点M，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{k≠0}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{m=\frac{1}{k}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2•\frac{k}{4}}$=$\frac{2}{k}$，x=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即M（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=kx+\frac{1}{k}}\end{array}\right.$，可知N（-1，$\frac{1-{k}^{2}}{k}$），
由对称性可知点R在x轴上，设R（x₁，0），则$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$=0，
于是（$\frac{1}{{k}^{2}}$-x₁，$\frac{2}{k}$）•（-1-x₁，$\frac{1-{k}^{2}}{k}$）=0，
整理得：${{x}_{1}}^{2}$+$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}}$x₁+$\frac{1-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$=0，
解得：x₁=1，或x₁=$\frac{1-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
故以MN为直径的圆过定点R（1，0），且d=$\frac{|k+\frac{1}{k}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
又∵|MN|=$\sqrt{（\frac{1}{{k}^{2}}+1）^{2}+（\frac{2}{k}-\frac{1-{k}^{2}}{k}）^{2}}$=（1+k²）•$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
∴$\frac{|MN|}{d}$=（1+k²）•$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
又∵k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2（当且仅当k=±1时取等号），
∴$\frac{|MN|}{d}$的最小值为2，相应的直线方程为y=x+1或y=-x-1．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．