Question

12．设函数f（x）=ax+3-|2x-1|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）若函数有最大值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，
（Ⅱ）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最大值的充要条件，即可求得

解答 解：（Ⅰ）由题意得x≥$\frac{1}{2}$时，不等式化为x+3-3x+1≤2，
解得：x≥2，
x＜$\frac{1}{2}$时，不等式化为x+3+2x-1≤2，解得：x≤0，
综上，不等式的解集是（-∞，0]∪[2，+∞）；
（Ⅱ）由题意得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）x+2，x＜\frac{1}{2}}\\{（a-2）x+4，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
函数有最大值的充要条件是a+2≥0且a-2≤0，
即-2≤a≤2．

点评 本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于中档题．