Question

19．已知F₁、F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F₁PF₂=30°，则△PF₁F₂的面积为8-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意，|F₁P|+|PF₂|=2$\sqrt{5}$，|F₁F₂|=2；从而由余弦定理求解，从而求面积．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
由椭圆的定义可得|F₁P|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，|F₁F₂|=2，
由余弦定理得，
|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2|F₁P||PF₂|cos30°，
故4=（|F₁P|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|cos30°-2|F₁P||PF₂|，
即4=20-|F₁P|•|PF₂|（$\sqrt{3}$+2），
故|F₁P|•|PF₂|=32-16$\sqrt{3}$，
故△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|•sin30°
=8-4$\sqrt{3}$．
故答案为：8-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的面积的求法，注意运用椭圆的定义及余弦定理以及三角形的面积公式的应用，考查运算能力，属于中档题．