Question

10．函数$f（x）=2sinxcosx-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$的图象为
①图象C关于直线$x=\frac{11π}{12}$对称；
②函数f（x）在区间$（-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}）$内是增函数；
③由y=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度可以得到图象C；
以上三个论断中，正确论断的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先化简函数f（x）①根据函数的对称性进行判断，
②根据函数单调性进行判断，
③根据三角函数平移关系进行判断．

解答 解：函数$f（x）=2sinxcosx-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$（2cos²x-1）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
①当$x=\frac{11π}{12}$时，2x-$\frac{π}{3}$=2×$\frac{11π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{11π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{9π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，
则sin$\frac{3π}{2}$=-1，是最小值，故图象C关于直线$x=\frac{11π}{12}$对称正确，故①正确；
②当x∈$（-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}）$时，2x∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），此时函数f（x）是增函数；故②正确，
③由y=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到y=2sin2（x-$\frac{π}{3}$）=2sin（2x-$\frac{2π}{3}$），故不可以得到图象C；故③错误，
故正确的是①②，
故选：C．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，根据三角函数的倍角公式将函数进行化简是解决本题的关键．