Question

15．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：
将河流最高水位落入各组的频率作为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．
（Ⅰ）求在未来3年里，至多有1年河流最高水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；
（Ⅱ）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35]时，损失60000元．为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程费用3800元；
方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程费用2000元；
方案三：不采取措施；
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明情况．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设得在未来3年里，河流最高水位X∈[27，31）发生的年数为Y，则Y～N（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出未来3年里，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率．
（Ⅱ）由题设得P（23≤X＜27）=0.74，P（31≤X≤35）=0.01，用X₁，X₂，X₃分别表示方案一、方案二、方案三的损失，分别求出X₁，X₂，X₃的数学期望，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）由题设得P（27≤X《31）=0.25=$\frac{1}{4}$，
∴在未来3年里，河流最高水位X∈[27，31）发生的年数为Y，则Y～N（3，$\frac{1}{4}$），
记事件“在未来3年里，至多有1年河流水位X∈[27，31）”为事件A，
则P（A）=P（Y=0）+P（Y=1）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}+{C}_{3}^{1}（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{27}{32}$，
∴未来3年里，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为$\frac{27}{32}$．
（Ⅱ）由题设得P（23≤X＜27）=0.74，
P（31≤X≤35）=0.01，
用X₁，X₂，X₃分别表示方案一、方案二、方案三的损失，
由题意得X₁=3800，
X₂的分布列为：

X2	2000	52000
P	0.99	0.01

E（X₂）=62000×0.01+200×0.99=2600，
X₃的分布列为：

X3	0	10000	60000
P	0.74	0.25	0.01

∴E（X₃）=60000×0.01+10000×0.25=3100，
∵三种方案采取方案二的损失最小，∴采取方案二好．

点评 本题考查概率的求法，考查最佳方案的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．