Question

6．已知非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=3，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=2，则向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{c}$方向上的投影为$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根据条件容易求出向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{c}$方向上的投影为$\frac{3}{2}$，并且根据条件可得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{c}$，从而可设$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（0，2），\overrightarrow{c}=（2，0）$，可设$\overrightarrow{a}=（x，y），\overrightarrow{b}=（x，2-y）$，由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=3$便可得出x=$\frac{3}{2}$，从而$\overrightarrow{a}=（\frac{3}{2}，y），\overrightarrow{b}=（\frac{3}{2}，y-2）$，这便可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{9}{4}+{y}^{2}-2y$，配方便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{c}$方向上的投影为：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}=\frac{3}{2}$；
由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$得，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}=0$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{c}$；
∵$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=2$；
∴设$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（0，2），\overrightarrow{c}=（2，0）$，设$\overrightarrow{a}=（x，y）$，则$\overrightarrow{b}=（x，y-2）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=2x=3$；
∴$x=\frac{3}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}=（\frac{3}{2}，y），\overrightarrow{b}=（\frac{3}{2}，y-2）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{9}{4}+{y}^{2}-2y=（y-1）^{2}+\frac{5}{4}≥\frac{5}{4}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小值为$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{2}，\frac{5}{4}$．

点评 考查一个向量在另一个向量方向上的投影的计算公式，向量数乘的运算，向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，以及向量数量积的坐标运算，配方求二次函数最值的方法．