Question

4．已知$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$满足$f（x）=-f（x+\frac{π}{2}），f（0）=\frac{1}{2}$，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． -2

Answer 1

分析 求出ω，φ得到g（x）的解析式，根据余弦函数的图象和x的范围得出g（x）的最值．

解答 解：∵f（0）=$\frac{1}{2}$，∴sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
∵f（x）=-f（x+$\frac{π}{2}$），∴$sin（ωx+\frac{π}{6}）=-sin[ω（x+\frac{π}{2}）+\frac{π}{6}]$
∴$\frac{ωπ}{2}=π$，即ω=2．
∴$g（x）=2cos（2x+\frac{π}{6}）$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，g（x）取得最大值，${g_{max}}（x）=2cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了正余弦函数的图象与性质，属于中档题．