Question

14．设定义在R上的奇函数f（x）单调递增，则不等式log₂x•f（x）＞0的解集为（1，+∞）．

Answer 1

分析 根据条件可得到f（0）=0，从而由log₂x•f（x）＞0可得到$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x＞0}\\{f（x）＞f（0）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x＜0}\\{f（x）＜f（0）}\end{array}\right.$，这样根据f（x）在R上单调递增及y=log₂x的单调性便可解出前面的不等式组，从而得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）为定义在R上的奇函数；
∴f（0）=0；
∴由log₂x•f（x）＞0得，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x＞0}\\{f（x）＞f（0）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x＜0}\\{f（x）＜f（0）}\end{array}\right.$；
f（x）在R上单调递增；
∴上面不等式组变成$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{x＜0}\end{array}\right.$；
∴解得x＞1；
∴原不等式的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，对数函数的单调性，以及根据单调性定义解不等式的方法．