Question

3．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=-a_n+n²，求数列{a_n}的通项公式及a₂₀₀₀．

Answer 1

分析 由题意可得，a_n+1+a_n=n²，得到a_n+2-a_n=2n+1，分别对n为奇数和偶数的情况，采用累加法，求出通项公式．

解答 解：∵a₂=-a₁+1²=-1+1=0
a_n+1+a_n=n²，（1）
a_n+2+a_n+1=（n+1）²，（2）
由（2）-（1）得
a_n+2-a_n=（n+1）²-n²=2n+1，
∴a_2n+1-a_2n-1=2（2n-1）+1，
a_2n-1-a_2n-3=2（2n-3）+1，
…
a₃-a₁=2×1+1，
累加得到
a_2n+1-a₁=2×[1+3+…+（2n-1）]+n=2n²+n，
∴a_2n+1=a₁+2n²+n=2n²+n+1，
∴当n为奇数时，a_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1，
由a_2n-a_2n-2=2（2n-2）+1，
a_2n-2-a_2n-4=2（2n-4）+1，
…
a₄-a₂=2×2+1，
累加得到
a_2n-a₂=2×[2+2×2+…+2（n-1）]+（n-1）=4[1+2+…+（n-1）]+（n-1）=2n²-n-1
a_2n=a₂+2n²-n-1=0+2n²-n-1=2n²-n-1
n为偶数时，an=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-1，
综上所述：a_n=$\frac{1}{2}$n（n-1）-（-1）ⁿ
∴a₂₀₀₀=$\frac{1}{2}$×2000×1999-1=1998999．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意讨论n为奇数和偶数的情况，考查运算能力，属于中档题．