Question

8．在正项等比数列{a_n}中，若a₃-a₅=5，则a₃+a₅的取值范围为（5，+∞）．

Answer 1

分析 法一、令a₃+a₅=t，与已知等式联立求得a₃、a₅，结合$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}={q}^{2}（0＜q＜1）$即可求得答案．
法二、设等比数列的公比为q，由a₃-a₅=5，得${a}_{3}（1-{q}^{2}）=5$，可得0＜q＜1，则a₃+a₅=5+10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$，当q→0时，10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$→0；当q→1时，10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$→∞，由此求得答案．

解答 解：法一、
令a₃+a₅=t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}-{a}_{5}=5}\\{{a}_{3}+{a}_{5}=t}\end{array}\right.$，解得${a}_{3}=\frac{t+5}{2}$，${a}_{5}=\frac{t-5}{2}$，
显然只有0＜q＜1才能保证a_n为正项且a₃＞a₅，
则由$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}=\frac{t-5}{t+5}={q}^{2}∈（0，1）$，解得t＞5．
即a₃+a₅∈（5，+∞）．
故答案为：（5，+∞）．
法二、
设等比数列的公比为q，由a₃-a₅=5，得${a}_{3}（1-{q}^{2}）=5$，
显然只有0＜q＜1才能保证a_n为正项且a₃＞a₅，
则a₃+a₅=a₃（1+q²）=a₃（1-q²）+2a₃q²=5+2a₃q²=5+10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$，
当q→0时，10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$→0；当q→1时，10$•\frac{{q}^{2}}{1-{q}^{2}}$→∞，
∴a₃+a₅＞5．
故答案为：（5，+∞）．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，考查极限思想方法的应用，是中档题．