Question

18．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，F₁、F₂为其左、右焦点，M为椭圆E上一点，且△MF₁F₂面积的最大值为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆E交于不同两点A、B，且|AB|=3$\sqrt{2}$，P为直线y=2上一点，满足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和三角形的面积公式，结合椭圆的范围，可得a，b，c的方程，解得a，b，即可得到所求椭圆方程；
（2）将直线l：y=x+m（m∈R）代入椭圆方程x²+3y²=12，运用韦达定理和弦长公式，解得m，可得A，B的坐标，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得P的坐标．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
△MF₁F₂面积的最大值为$\frac{1}{2}$•2c•b=4$\sqrt{2}$，
又a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=2$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）将直线l：y=x+m（m∈R）代入椭圆方程x²+3y²=12，
可得4x²+6mx+3m²-12=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{3m}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-12}{4}$，
|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{9{m}^{2}}{4}-\frac{12{m}^{2}-48}{4}}$=3$\sqrt{2}$，
解得m=±2，
当m=2时，可得A（0，2），B（-3，-1），
中点M为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
由|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，可得PM⊥AB，
设P（t，2），即有$\frac{2-\frac{1}{2}}{t+\frac{3}{2}}$=-1，
解得t=-3，即P（-3，2）；
当m=-2时，可得A（0，-2），B（3，1），
中点M为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
由|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，可得PM⊥AB，
设P（t，2），即有$\frac{2+\frac{1}{2}}{t-\frac{3}{2}}$=-1，
解得t=-1，即P（-1，2）．
综上可得P的坐标为（-3，2）或（-1，2）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和椭圆的性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于中档题．