Question

7．已知等差数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n
（1）若对任意正整数n，k（n＞k），都有$\sqrt{{S}_{n+k}}$+$\sqrt{{S}_{n-k}}$=2$\sqrt{{S}_{n}}$成立，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，记T_n为数列{$\frac{1}{{{a}_{n+1}a}_{n}}$}的前n项和，是否存在正整数n，使得T_n＜$\frac{1007}{2016}$？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）对任意正整数n，k（n＞k），都有$\sqrt{{S}_{n+k}}$+$\sqrt{{S}_{n-k}}$=2$\sqrt{{S}_{n}}$成立．取k=1，则$\sqrt{{S}_{n+1}}+\sqrt{{S}_{n-1}}$=2$\sqrt{{S}_{n}}$，设等差数列{a_n}的公差为d，取n=2，可得$\sqrt{{S}_{3}}$+$\sqrt{{S}_{1}}$=2$\sqrt{{S}_{2}}$，把等差数列的通项公式代入解出d即可得出．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”可得T_n，利用不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）∵对任意正整数n，k（n＞k），都有$\sqrt{{S}_{n+k}}$+$\sqrt{{S}_{n-k}}$=2$\sqrt{{S}_{n}}$成立，
取k=1，则$\sqrt{{S}_{n+1}}+\sqrt{{S}_{n-1}}$=2$\sqrt{{S}_{n}}$，
设等差数列{a_n}的公差为d，取n=2，
则$\sqrt{{S}_{3}}$+$\sqrt{{S}_{1}}$=2$\sqrt{{S}_{2}}$，
∴$\sqrt{3+3d}$+1=2$\sqrt{2+d}$，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{{a}_{n+1}a}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
不等式T_n＜$\frac{1007}{2016}$化为：2n＜1007，解得n＜503+$\frac{1}{2}$，
因此存在正整数n，使得T_n＜$\frac{1007}{2016}$，n的最大值为503．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．