Question

10．如图所示，在三角形ABC中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN与CM相交于P，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AP}$．

Answer 1

分析 根据条件可得$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，从而由B，P，N三点共线便可得到$\overrightarrow{AP}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}$，而同理由C，P，M三点共线可得到$\overrightarrow{AP}=（1-μ）\overrightarrow{AC}+\frac{μ}{3}\overrightarrow{AB}$，这样根据平面向量基本定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{μ}{3}}\\{\frac{λ}{4}=1-μ}\end{array}\right.$，可以解出λ，这样即可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{AP}$．

解答 解：B，P，N三点共线；
∴$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BN}$；
∴$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=λ（\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AN}$=$（1-λ）\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}$；
同理由C，P，M三点共线可得$\overrightarrow{AP}=（1-μ）\overrightarrow{AC}+\frac{μ}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴由平面向量基本定理得$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{μ}{3}}\\{\frac{λ}{4}=1-μ}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{8}{11}$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{11}\overrightarrow{a}+\frac{2}{11}\overrightarrow{b}$．

点评 考查共线向量基本定理，向量减法、数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．