Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦点分别为F₁，F₂．G为椭圆上异于长轴端点的一点，若△GF₁F₂的面积为2，且其内切圆半径为2-$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=k（x-1）（k＜0）与椭圆C相交于A、B两点，点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k₁、k₂，当$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积求法，结合内切圆的半径和椭圆的定义，解方程可得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）y=k（x-1）（k＜0）代入椭圆方程可得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理和直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到所求最大值，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
${S}_{△G{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$r（PF₁+PF₂+F₁F₂）=$\frac{1}{2}$×（2-$\sqrt{2}$）•（2a+2c）=2，
即为a+c=2+$\sqrt{2}$，
解得c=$\sqrt{2}$，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直线l：y=k（x-1）（k＜0）代入椭圆方程可得，
（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-4）＞0，
即为4+6k²＞0成立．
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
即有$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{k（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$
=$\frac{k（{x}_{1}{x}_{2}+1-{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}+9-3（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{k（2{k}^{2}-4+1+2{k}^{2}-4{k}^{2}）}{2{k}^{2}-4+9+18{k}^{2}-12{k}^{2}}$
=$\frac{-3k}{5+8{k}^{2}}$=$\frac{3}{\frac{5}{-k}+（-8k）}$≤$\frac{3}{2\sqrt{40}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{40}$．
当且仅当-8k=-$\frac{5}{k}$，解得k=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
即有$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$取得最大值时，直线l的方程为y=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$（x-1）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及基本不等式求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．