Question

3．设椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，若直线l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1经过椭圆C的右焦点及上顶点．
（l）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得直线与坐标轴的交点，可得c=$\sqrt{3}$，b=1，由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（4，0）．

解答 解：（1）直线l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与x轴的交点为（$\sqrt{3}$，0），
与y轴的交点为（0，1），
由题意可得c=$\sqrt{3}$，b=1，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则A′（x₁，-y₁）．
且y₁+y₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$．
经过点A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直线方程为$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．
令y=0，则x=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$y₁+x₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
∴当y=0时，x=$\frac{（m{y}_{2}+1）{y}_{1}+（m{y}_{1}+1）{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{-6m-2m}{-2m}$=4，
这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查了学生基础知识的综合运用以及运算能力，属于中档题．